Нужно ли гражданину России выписываться со своего места жительства (в Перми), чтобы прописаться в купленном доме в Беларуси?

Вы можете сохранить регистрацию по месту жительства в Перми и одновременно оформить регистрацию по месту жительства в Беларуси — это не противоречит законодательству ни одной из стран.