Да, Вас пропустят через границу. Никаких дополнительных действий не требуется. Можете выехать, решить свои вопросы с документами, и вернуться обратно в Республику Беларусь.
В соответствии с п. 10 Приложения № 4 к Решению Совета Евразийской экономической комиссии от 20 декабря 2017 г. № 107 домашние животные относятся к «товарам для личного пользования».